群论基础概念 cheatsheet

封面来自 wikibooks - Group_Theory

最近大半年在好几个方向上接触到了群论相关的知识，这两周稍微了解了一下 (抽象代数的概念实在是又多又复杂 🥲)，用自己能够尽量理解的方式，总结了一些概念算作后续学习的一个 cheatsheet 吧。

感兴趣推荐直接看这个视频: 史上最好的群论入门 只有三十分钟，内容精炼，比文本好理解很多。另外也可以看下东南大学李逸老师编的基本分析讲义教材 (在研究成果页面 Textbooks 可下载)，集合论相关的东西参考了很多。

集合与映射基础

笛卡尔积 (cartesian produce)

设 A AA 和 B BB 为两个给定的集合，定义其 Cartesian 乘积为:

A×B={(a,b)∣a∈A & b∈B}A \times B = \left \{ (a, b) | a \in A \space\And\space b \in B \right \} A×B={(a,b)∣a∈A & b∈B}

如设 A={a,b},B={i,j,k}A = \left \{ a, b \right \}, B = \left \{ i,j,k \right \}A={a,b},B={i,j,k} 则有 A×B={(a,i),(b,i),(a,j),(b,j),(a,k),(b,k)}A \times B = \{(a,i),(b,i),(a,j),(b,j),(a,k),(b,k)\}A×B={(a,i),(b,i),(a,j),(b,j),(a,k),(b,k)}

其中 (a,b)(a, b)(a,b) 表示 a aa 和 b bb 的 有序对 (ordered pair) 定义为 (a,b)={{a},{a,b}}(a, b) = \left \{ \left \{ a \right \}, \left \{ a, b \right \} \right \}(a,b)={{a},{a,b}} 这种表示方式中第一个元素 {a}\left \{ a \right \}{a} 表示有序对的第一个元素是 a aa 第二个元素 {a,b}\left \{ a,b \right \}{a,b} 表示元素之间的顺序，参考 Kuratowski's definition 和 ZFC 集合公理化。其中 a aa 称为有序对的第一坐标 b bb 称为有序对的第二坐标，当 a=b a = ba=b 时 (a,b)={{a}}(a, b) = \left \{ \left \{ a \right \} \right \}(a,b)={{a}} 对于 x=(a,b)x = (a, b)x=(a,b) 定义投影映射 p r 1(x)=a, p r 2(x)=b pr_{1}(x) = a,\space pr_{2}(x) = bpr1​(x)=a, pr2​(x)=b

映射 (map)

设 C CC 和 D DD 是两个给定的集合，赋值法则 R RR 指的是满足以下条件的 C×D C \times DC×D 的子集

(c,d)∈R & (c,d′)∈R⟹d=d′(c,d) \in R \space\And\space (c,d{}') \in R \Longrightarrow d=d{}'(c,d)∈R & (c,d′)∈R⟹d=d′

定义赋值法则 R RR 定义域 (domain) 和 像域 (image set) 为:

Dom(R):={c∈C∣∃ d∈D s.t. (c,d)∈R}Dom(R) := \{ c \in C | \exists\space d \in D \text{ s.t. } (c,d) \in R\}Dom(R):={c∈C∣∃ d∈D s.t. (c,d)∈R}

Im(R):={d∈D∣∃ c∈C s.t. (c,d)∈R}Im(R) := \{ d \in D | \exists\space c \in C \text{ s.t. } (c,d) \in R\}Im(R):={d∈D∣∃ c∈C s.t. (c,d)∈R}

一个映射 f ff 是一个二元对 (R,B)(R, B)(R,B) 其中 R RR 是赋值法则，B BB 是一个集合 (称为 f ff 的值域 (range)) 满足 Im(R)⊆B Im(R) \subseteq BIm(R)⊆B 定义:

f ff 的定义域 Dom(f):=Dom(R)Dom(f) := Dom(R)Dom(f):=Dom(R)

f ff 的像域 Im(f):=Im(R)Im(f) := Im(R)Im(f):=Im(R)

引入记号 f:A⟶B,a⟼f(a)f: A \longrightarrow B, a \longmapsto f(a)f:A⟶B,a⟼f(a) 其中 A AA 和 B BB 分别是 f ff 的定义域和值域，因此有 Im(f)⊆B Im(f) \subseteq BIm(f)⊆B 且 f(a)f(a)f(a) 是 B BB 中满足 (a,f(a))∈R(a, f(a)) \in R(a,f(a))∈R 的唯一元素

定义图 graph(f):={(a,b)∈A×B∣b=f(a)}={(a,f(a))∣a∈A}⊆A×B graph(f) := \{(a,b) \in A \times B|b = f(a) \} = \{(a, f(a))|a \in A\} \subseteq A \times Bgraph(f):={(a,b)∈A×B∣b=f(a)}={(a,f(a))∣a∈A}⊆A×B

各种映射类型

称 1 A=A⟶A,a⟼a 1_{A} = A \longrightarrow A, a \longmapsto a1A​=A⟶A,a⟼a 为恒等映射 (identity mapping)

称 f:A⟶B,a⟼b f: A \longrightarrow B, a \longmapsto bf:A⟶B,a⟼b 其中 b bb 是常数为常值映射 (constang mapping)

对任意给定 A AA 的子集 A 0 A_{0}A0​ 定义 f ff 在 A 0 A_{0}A0​ 上限制 (restriction) 为映射 f∣A 0=f:A 0⟶B f|_{A_{0}} = f: A_{0} \longrightarrow Bf∣A0​​=f:A0​⟶B

定义 f ff 和 g gg 的 复合 (composition) 为 f∘g=A⟶C,a⟼c f \circ g = A \longrightarrow C, a \longmapsto cf∘g=A⟶C,a⟼c 但仅当 Im(f)⊆Dom(g)Im(f) \subseteq Dom(g)Im(f)⊆Dom(g) 时 f∘g f \circ gf∘g 才有意义

若 f(a)=f(a′)⟹a=a′f(a) = f(a{}') \Longrightarrow a = a{}'f(a)=f(a′)⟹a=a′ 则 f ff 是单射 (injective)

若 ∀ b∈B,∃ a∈A s.t. f(a)=b\forall \space b \in B, \exists \space a \in A \text{ s.t. } f(a) = b∀ b∈B,∃ a∈A s.t. f(a)=b 则 f ff 是满射 (surjective)

若 f ff 即是单射又是满射则称 f ff 是双射 (bijective)

若 f ff 是双射定义其 逆映射 (inverse) 为 f−1:B⟶A f_{}^{-1}: B \longrightarrow Af−1​:B⟶A 且 f−1(b)=a⟺f(a)=b f_{}^{-1}(b) = a \Longleftrightarrow f(a) = bf−1​(b)=a⟺f(a)=b

给定映射 f:A⟶B f: A \longrightarrow Bf:A⟶B 如果存在映射 g:B⟶A g: B \longrightarrow Ag:B⟶A 使得 g∘f=1∣A g \circ f = 1|_{A}g∘f=1∣A​ 即 f(f(a))=a f(f(a)) = af(f(a))=a 对任何 a∈A a \in Aa∈A 成立则 f ff 必是单射

给定映射 f:A⟶B f: A \longrightarrow Bf:A⟶B 如果存在 f ff 的左逆 (left inverse) g:B⟶A g: B \longrightarrow Ag:B⟶A (即 g(f(a))=a g(f(a)) = ag(f(a))=a 对所有 a∈A a \in Aa∈A 成立) 和 f ff 的右逆 (right inverse) h:B⟶A h: B \longrightarrow Ah:B⟶A (即 f(h(b))=b f(h(b)) = bf(h(b))=b 对所有的 b∈B b \in Bb∈B 成立)，则 g=h=f−1 g = h = f_{}^{-1}g=h=f−1​

如果在映射定义 (R,B)(R, B)(R,B) 中 B BB 是一个数域则称这种映射为函数

等势 (equinumerous)

如果在集合 A AA 和 B BB 之间存在双射 f:A→B f: A \rightarrow Bf:A→B, 称这两个集合等势，记作 A∼B A \sim BA∼B

群基础定义

定义满足以下条件的二元组 (G,∘)(G, \circ)(G,∘) 为一个群:

群的元素属于一个集合 G GG

群内元素包含一个二元操作 ∘\circ∘

封闭性 (closed under operation): 对于 x,y∈G,x∘y∈G x, y \in G, x \circ y \in Gx,y∈G,x∘y∈G

恒等元 (identity): 存在元素 e∈G,e∘x=x∘e=x e \in G, e \circ x = x \circ e = xe∈G,e∘x=x∘e=x

逆 (inverse): 对于任意 x∈G x \in Gx∈G 存在元素 x−1∈G,x∘x−1=e x_{}^{-1} \in G, x \circ x_{}^{-1} = ex−1​∈G,x∘x−1​=e

结合律 (associativity): (x∘y)∘z=x∘(y∘z)(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)(x∘y)∘z=x∘(y∘z)

群的元素的数量称为群的阶数用 ∣G∣ \left | G \right |∣G∣ 表示，只包含一个元素 e ee 的群 ∣G∣=1\left | G \right | = 1∣G∣=1 称为平凡群(trivial group)

阿贝尔群 (abelian group)

若对于群 (A,∘)(A, \circ)(A,∘) 中的所有元素 a,b∈A a, b \in Aa,b∈A 都满足 a∘b=b∘a a \circ b = b \circ aa∘b=b∘a 即交换律则称 (A,∘)(A, \circ)(A,∘) 为阿贝尔群或者交换群，反之则称为非阿贝尔群或者非交换群。

循环群 (cyclic group)

设 (G,∘)(G, \circ)(G,∘) 为一个群，若存在元素 g∈G g \in Gg∈G 使得 G={g k∣k∈Z}G = \left \{ g_{}^{k} | k \in \mathbb{Z} \right \}G={gk​∣k∈Z} 则称 (G,∘)(G, \circ)(G,∘) 形成一个循环群，其中元素 g gg 称为群的生成元记作 G=⟨g⟩G = \left \langle g \right \rangleG=⟨g⟩ 群 G GG 内任意一个元素所生成的群都是循环群，且是 G GG 的子群。

例如 (Z,+)=⟨1⟩(\mathbb{Z}, +) = \left \langle 1 \right \rangle(Z,+)=⟨1⟩ 是一个循环群。

子群 (subgroup)

如果 H HH 是群 (G,∘)(G, \circ)(G,∘) 中集合 G 的一个非空子集且 (H,∘)(H, \circ)(H,∘) 也构成一个群，则称 (H,∘)(H, \circ)(H,∘) 为 (G,∘)(G, \circ)(G,∘) 的子群，省略二元操作符，记作 H≤G H \le GH≤G 如果 H≠G H \ne GH=G 则称 H HH 为 G GG 的真子群记作 H<G H \lt GH<G

所有的 G GG 都包含两个子群：仅有恒等元 e ee 构成的平凡子群 {e}\left \{ e \right \}{e} 及其自身 G GG 如果某个群 G GG 除了这两个子群以外没有其他的子群，则称其为单群(simple group)

拉格朗日定理 (Lagrange's Theorem): 如果 H≤G H \le GH≤G 则 G 的阶数 ∣G∣ \left | G \right |∣G∣ 一定可以被 H 的阶数整除即:

H≤G⇒∣G∣ divides ∣H∣H \le G \Rightarrow \left | G \right | \space divides \space \left | H \right |H≤G⇒∣G∣ divides ∣H∣

假设有一个群 ∣G∣=35\left | G \right | = 35∣G∣=35 则通过拉格朗日定理可知对于 G GG 的子群 H HH 一定有 ∣H∣=1,5,7,35\left | H \right | = 1,5,7,35∣H∣=1,5,7,35

共轭子群 (conjugate group)

对于群中的元素 g∈G g \in Gg∈G 称 ag a−1 aga_{}^{-1}aga−1​ 为 g gg 在 G GG 中的共轭元。

或者说，对于群 G GG 中共轭的两个元素 a,b a, ba,b 必定存在 g∈G g \in Gg∈G 使得 ga g−1=b gag_{}^{-1} = bgag−1​=b

若 H HH 是 G GG 的子群且 a∈G a \in Ga∈G 则 aH a−1={ah a−1∣ h∈H}aHa_{}^{-1} = \left \{ aha_{}^{-1}|\space h \in H \right \}aHa−1​={aha−1​∣ h∈H} 是 G GG 的子群，称为 H HH 关于 G GG 的共轭子群。

陪集 (coset)

若 H HH 是 G GG 的子群且 g∈G g \in Gg∈G

称 gH={gh, h∈G}gH = \left \{ gh, \space h \in G \right \}gH={gh, h∈G} 为 H HH 在 G GG 中的左陪集(Left Coset)

称 Hg={hg, h∈G}Hg = \left \{ hg, \space h \in G \right \}Hg={hg, h∈G} 为 H HH 在 G GG 中的右陪集(Right Coset)

注意陪集不一定是群，比如其不一定包含恒等元 e ee

正规子群 (normal subgroup)

正规子群的定义有多种方式，若 (N,∘)(N, \circ)(N,∘) 是 (G,∘)(G, \circ)(G,∘) 的子群

若 ∀g∈G, gN g−1=N\forall g \in G,\space gNg_{}^{-1} = N∀g∈G, gNg−1​=N 称 N NN 是 G GG 的正规子群

若 ∀g∈G,gH=Hg\forall g \in G, gH = Hg∀g∈G,gH=Hg 称 N NN 是 G GG 的正规子群

若 N NN 在 G GG 中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的，则称 N NN 是 G GG 的正规子群

若 N NN 的所有共轭子群等于 N NN 则称 N NN 是 G GG 的正规子群

N NN 是 G GG 的正规子群记作 N⊲G N \lhd GN⊲G 或者 G⊳N G \rhd NG⊳N

任意群 G GG 的两个平凡子群 {e}\left \{ e \right \}{e} 和 G GG 都是 G GG 的正规子群，也称作平凡正规子群。

对于 G GG 中的任意元素 g gg 都可以在子群 G′G{'}G′ 中找到一个元素 g′g{'}g′ 和原群 G GG 中的一个元素 x∈G x \in Gx∈G 使得 g=g′∘x g = g{'} \circ xg=g′∘x

例如给定一个群 G=({1,2,3,4,5,6},a∘b=a∗b mod  6) G = (\{1,2,3,4,5,6\}, a \circ b = a*b\mod{6})G=({1,2,3,4,5,6},a∘b=a∗bmod6) 及其子群 G=({1,3},∘)G = (\{1,3\}, \circ)G=({1,3},∘)

则对于原群中的每个元素都可以表示为 1=1∘1,2=1∘2,3=3∘1,4=3∘2,5=1∘5,6=3∘5 1 = 1 \circ 1, 2 = 1 \circ 2, 3 = 3 \circ 1, 4 = 3 \circ 2, 5 = 1 \circ 5, 6 = 3 \circ 51=1∘1,2=1∘2,3=3∘1,4=3∘2,5=1∘5,6=3∘5

整数加法群的正规子群是 {2 n,n∈Z}\{2n, n \in \mathbb{Z} \}{2n,n∈Z}

正规子群可以形象地理解为一个在群中具有特殊的性质的子群，它在群中的运算与子群中的运算是等价的 (?)。直觉上正规子群可以看作能够单位群，通过正规子群可以构造出整个群。

商群 (factor group)

设群 (G,∘)(G, \circ)(G,∘) 有正规子群 (N,∘)(N, \circ)(N,∘) 对于 a,b∈G a, b \in Ga,b∈G 定义陪集运算 (a∘N)⋄(b∘N)={a∘b∘n∣n∈N}(a \circ N) \diamond (b \circ N) = \left \{ a \circ b \circ n|n \in N \right \}(a∘N)⋄(b∘N)={a∘b∘n∣n∈N}

则定义 N NN 的陪集在该运算下构成的群为商群，记作 G/N=({aN∣a∈G},⋄)G / N = (\left \{ aN| a \in G \right \} , \diamond)G/N=({aN∣a∈G},⋄)

如所有正整数和加法运算构成一个群 (Z,+)(\mathbb{Z}, +)(Z,+) 这个群有无数个子群 2 Z,3 Z,...2\mathbb{Z},3\mathbb{Z},...2Z,3Z,... 观察 5 Z 5\mathbb{Z}5Z 其将 Z\mathbb{Z}Z 分割成一个子群 (也可以看作陪集) 和四个陪集:

子群: 5 Z={...,−5,0,5,10,...}5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-5,0,5,10,... \right \}5Z={...,−5,0,5,10,...}

陪集: 1+5 Z={...,−4,1,6,11,...}1 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-4,1,6,11,... \right \}1+5Z={...,−4,1,6,11,...}

陪集: 2+5 Z={...,−3,2,7,12,...}2 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-3,2,7,12,... \right \}2+5Z={...,−3,2,7,12,...}

陪集: 3+5 Z={...,−2,3,8,13,...}3 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-2,3,8,13,... \right \}3+5Z={...,−2,3,8,13,...}

陪集: 4+5 Z={...,−1,4,9,14,...}4 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-1,4,9,14,... \right \}4+5Z={...,−1,4,9,14,...}

则这五个陪集可以组成一个新的群 (陪集群) 称为商群记作 Z/5 Z\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}Z/5Z

注意事项：

商群 G/N G/NG/N 并非 G GG 的子群

陪集并不总能形成一个群

陪集群 (商群) G/N G/NG/N 的恒等元 (identity) 为 N NN

商群指的是将群中的某些元素 a∈G,b∈G 0 a \in G, b \in G_{0}a∈G,b∈G0​ 合并成同一个元素 (这个元素本身是一个集合) {a,b}∈Gn\{a, b\} \in G_{n}{a,b}∈Gn​

商群的元素是原群的元素的等价类，等价关系是指两个元素在群中的运算结果是相等的。

直觉上商群是将正规子群 N NN 看作单位元后构成的群

群同态 (group homomorphism)

给定两个群 (G,∗)(G, \ast)(G,∗) 和 (H,⊙)(H, \odot)(H,⊙) 若存在函数 h hh 使得对于所有 G GG 中的 u,v u,vu,v 有 h(u∗v)=h(u)⊙h(v)h(u \ast v) = h(u) \odot h(v)h(u∗v)=h(u)⊙h(v) 则称 (G,∗)(G, \ast)(G,∗) 到 (H,⊙)(H, \odot)(H,⊙) 的群同态

同态核 (kernel of homomorphism)

设 G 1,G 2 G_{1},G_{2}G1​,G2​ 是群 f:G 1→G 2 f: G_{1} \rightarrow G_{2}f:G1​→G2​ 是同态映射，定义集合 kerf={x∣x∈G 1 & f(x)=e 2}ker f = \{x| x \in G_{1}\space\And\space f(x) = e_{2}\}kerf={x∣x∈G1​ & f(x)=e2​} 其中 e 2 e_{2}e2​ 是群 G 2 G_{2}G2​ 的单位元素称 kerf ker fkerf 为同态核 且 kerf ker fkerf 是 G 1 G_{1}G1​ 的正规子群:

非空: G 1 G_{1}G1​ 的单位元素必在 kerf ker fkerf 中

子群: ∀a,b∈kerf,f(a)=f(b)=e 2\forall a, b \in ker f, f(a) = f(b) = e_{2}∀a,b∈kerf,f(a)=f(b)=e2​ 则 f(a∗b−1)=f(a)∗f(b)−1=e 2 f(a \ast b_{}^{-1}) = f(a) \ast f(b)_{}^{-1} = e_{2}f(a∗b−1​)=f(a)∗f(b)−1​=e2​

正规子群: ∀a∈kerf,x∈G\forall a \in ker f, x \in G∀a∈kerf,x∈G 由于 f(a)=e 2 f(a) = e_{2}f(a)=e2​ 有 f(x∗a∗x−1)=f(x)∗f(a)∗f(x)−1=e 2 f(x \ast a \ast x_{}^{-1}) = f(x) \ast f(a) \ast f(x)_{}^{-1} = e_{2}f(x∗a∗x−1​)=f(x)∗f(a)∗f(x)−1​=e2​ 即 g∗a∗g−1∈kerf g \ast a \ast g_{}^{-1} \in ker fg∗a∗g−1​∈kerf

同态基本定理

假设 G,G′G, G_{}^{'}G,G′​ 是群，f:G→G′f: G \rightarrow G_{}^{'}f:G→G′​ 是满同态映射则 G/kerf≅G′G/ker f \cong G_{}^{'}G/kerf≅G′​

群同构 (group isomorphism)

给定两个群 (G,∗)(G, \ast)(G,∗) 和 (H,⊙)(H, \odot)(H,⊙) 若存在双射函数 f:G→H f: G \rightarrow Hf:G→H 使得对所有 G GG 中的 u,v u, vu,v 有 f(u∗v)=f(u)⊙f(v)f(u \ast v) = f(u) \odot f(v)f(u∗v)=f(u)⊙f(v) 则称群 (G,∗)(G, \ast)(G,∗) 和 (H,⊙)(H, \odot)(H,⊙) 同构。

例如实数加法群 (R,+)(\mathbb{R}, +)(R,+) 通过 f(x)=e x f(x) = e_{}^{x}f(x)=ex​ 同构于正实数乘法群 (R+,∗)(\mathbb{R}_{}^{+}, \ast)(R+​,∗)

半群 (Semigroup)

定义集合 S SS 和其上的二元运算 ⋅:S×S→S\cdot : S \times S \rightarrow S⋅:S×S→S 若运算 ⋅\cdot⋅ 满足结合律即对于 ∀x,y,z∈S\forall x,y,z \in S∀x,y,z∈S 有 (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z)(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)(x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z) 则称有序对 (S,⋅)(S, \cdot)(S,⋅) 为半群

例如正整数和加法构成半群

幺半群 (Monoid)

对于集合 M MM 和其上的二元运算 ∗:M×M→M\ast: M \times M \rightarrow M∗:M×M→M 如果满足:

结合律: ∀a,b,c∈M,(a∗b)∗c=a∗(b∗c)\forall a,b,c \in M, (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)∀a,b,c∈M,(a∗b)∗c=a∗(b∗c)

单位元: ∃e∈M,∀a∈M,e∗a=a∗e\exists e \in M, \forall a \in M, e \ast a = a \ast e∃e∈M,∀a∈M,e∗a=a∗e

封闭性: ∀a,b∈M,a∗b∈M\forall a,b \in M, a \ast b \in M∀a,b∈M,a∗b∈M

则称 (M,∗)(M, \ast)(M,∗) 为幺半群，相对于群幺半群少了逆元素 (reverse) 的要求，相对于半群，幺半群多了单位元

变换群 (transformation group)

对于非空集合 A AA 称 f:A→A f: A \rightarrow Af:A→A 为 A AA 上的一个变换，变换乘法即函数复合运算 h(x)=g(f(x))h(x) = g(f(x))h(x)=g(f(x))

当映射 f ff 是双射 (单射 + 满射) 时称这种变换为一一变换，下称双射变换便于理解，称集合 A AA 上的一一变换关于交换乘法构成的群为变换群

非空集合上的所有双射变换构成群

封闭性：双射的复合仍然是双射

结合律: (f∘g)∘h=f(g(x))∘h=f(g(h(x)))=f∘g(h(x))=f∘(g∘h)(f \circ g) \circ h = f(g(x)) \circ h = f(g(h(x))) = f \circ g(h(x)) = f \circ (g \circ h)(f∘g)∘h=f(g(x))∘h=f(g(h(x)))=f∘g(h(x))=f∘(g∘h)

单位元：存在单位元 e:f(x)=x e: f(x) = xe:f(x)=x 对于任意变换 g gg 满足 f∘g=g∘f f \circ g = g \circ ff∘g=g∘f

逆元素：对于任意双射 g gg 必存在反函数 g−1 g_{}^{-1}g−1​ 即逆元素

变换群举例

设集合 G={f a,b ∣ f a,b(x)=ax+b (a,b∈R,a≠0)}G = \{f_{a,b}\space|\space f_{a,b}(x) = ax + b\space (a, b \in \mathbb{R}, a \ne 0)\}G={fa,b​ ∣ fa,b​(x)=ax+b (a,b∈R,a=0)} 则 (G,∘)(G, \circ)(G,∘) 构成 (变换) 群

置换 (permutation)

定义有限集合 S SS 上的双射 σ:S→S\sigma: S \rightarrow Sσ:S→S 为 S SS 上的 n nn 元置换，记作:

其中 σ(1),σ(2),..σ(n)\sigma(1), \sigma(2), .. \sigma(n)σ(1),σ(2),..σ(n) 是 1,2,..,n 1,2,..,n1,2,..,n 的不同排列，每种置换都相当于是一种排列方式

设 i 1i 2..in i_{1}i_{2}..i_{n}i1​i2​..in​ 是 1,2,..,n 1,2,..,n1,2,..,n 的一种排列对任意的 i,j i,ji,j 若 ij>ik i_{j} > i_{k}ij​>ik​ 且 j<k j < kj<k 则称 ijik i_{j}i_{k}ij​ik​ 为一个逆序，一个排列中的逆序总个数称为该排列的逆序数

轮换

设 σ\sigmaσ 是 S={1,2,..,n}S = \{1,2,..,n\}S={1,2,..,n} 上的 n 元置换，若:

σ(i 1)=i 2,σ(i 2)=i 3,..,σ(i k−1)=ik,σ(ik)=i 1\sigma(i_{1}) = i_{2},\sigma(i_{2}) = i_{3},..,\sigma(i_{k-1}) = i_{k},\sigma(i_{k}) = i_{1}σ(i1​)=i2​,σ(i2​)=i3​,..,σ(ik−1​)=ik​,σ(ik​)=i1​

且:

∀x∈S,x≠ij(j=1,2,..,k),σ(x)=x\forall x \in S, x \ne i_{j} (j = 1,2,..,k), \sigma(x) = x∀x∈S,x=ij​(j=1,2,..,k),σ(x)=x
(这一步的意思是 ij i_{j}ij​ 和 i k+j i_{k+j}ik+j​ 等价)

则称 σ\sigmaσ 为 S SS 上的 k kk 阶轮换，当 k=2 k = 2k=2 时也称为对换，记作 (i 1,i 2,..,ik)(i_{1},i_{2},..,i_{k})(i1​,i2​,..,ik​)

不相交轮换相乘

对于 Sn S_{n}Sn​ 中的两个轮换 σ=(i 1,i 2,..,ik)\sigma = (i_{1},i_{2},..,i_{k})σ=(i1​,i2​,..,ik​) 和 τ=(j 1,j 2,..,js)\tau = (j_{1},j_{2},..,j_{s})τ=(j1​,j2​,..,js​) 如果 {i 1,i 2,..,ik}∩{j 1,j 2,..,js}=ϕ\{i_{1},i_{2},..,i_{k}\} \cap \{j_{1},j_{2},..,j_{s}\} = \phi{i1​,i2​,..,ik​}∩{j1​,j2​,..,js​}=ϕ 则称 σ\sigmaσ 和 τ\tauτ 不相交，如果 σ\sigmaσ 和 τ\tauτ 不相交则 στ=τσ\sigma\tau = \tau\sigmaστ=τσ

推论:

任意 n 元置换 σ\sigmaσ 都可以表示成一组互不相交的轮换的乘积

k(k>1)k(k > 1)k(k>1) 阶轮换 σ=(i 1i 2..ik)\sigma = (i_{1} i_{2} .. i_{k})σ=(i1​i2​..ik​) 可以表示成 k−1 k-1k−1 个对换的乘积即 (i 1i 2)..(i 1i k−1)(i 1ik)(i_{1}i_{2})..(i_{1}i_{k-1})(i_{1}i_{k})(i1​i2​)..(i1​ik−1​)(i1​ik​) 的形式

σ\sigmaσ 是 S SS 上的一个置换 σ(j)=aj(j=1,2,...n)\sigma(j) = a_{j} (j = 1,2,...n)σ(j)=aj​(j=1,2,...n) 则 σ\sigmaσ 的任意对换表示中的对换个数与排列 a 1,a 2,..,an a_{1},a_{2},..,a_{n}a1​,a2​,..,an​ 的逆序数同奇偶性

置换群

有限集合 S SS 上的所有置换一定构成群称为对称群，记作 Sn S_{n}Sn​ 其中 n nn 是 S SS 的阶数。

Sn S_{n}Sn​ 的任意子集若构成群，则是置换群，置换群是变换群的特例，对称群是置换群的特例。

Sn S_{n}Sn​ 的所有偶置换构成子群，称为交错群

基于已有群构建变换群

对于群 (G,∗)(G, \ast)(G,∗) 中的任意元素 a∈G a \in Ga∈G 定义:

τa:G→G,∀x∈G,τa(x)=x∗a\tau_{a}: G \rightarrow G, \forall x \in G, \tau_{a}(x) = x \ast aτa​:G→G,∀x∈G,τa​(x)=x∗a

则 τa\tau_{a}τa​ 是一一 (双射) 变换:

满射：对任意的 b∈G b \in Gb∈G 方程 x∗a=b x \ast a = bx∗a=b 有唯一解

单射：若 x∗a=y∗a⇒x=y x \ast a = y \ast a \Rightarrow x = yx∗a=y∗a⇒x=y 两边同时乘上 a−1 a_{}^{-1}a−1​

记 G′={τa∣a∈G}G_{}^{'} = \{\tau_{a}|a \in G\}G′​={τa​∣a∈G} 显然 G′G_{}^{'}G′​ 可以构成变换群

Cayley 定理

任意的群 G GG 和一个变换群同构。定义 φ:G→G′,∀a∈G,φ(a)=τa\varphi: G \rightarrow G_{}^{'}, \forall a \in G, \varphi(a) = \tau_{a}φ:G→G′​,∀a∈G,φ(a)=τa​ 则 φ\varphiφ 是同构映射。

φ(a∗b)=τ a∗b\varphi(a \ast b) = \tau_{a \ast b}φ(a∗b)=τa∗b​

∀x∈G,φ(a∗b)(x)=τ a∗b(x)=x∗(a∗b)=(x∗a)∗b=τb(τa(x))\forall x \in G, \varphi(a \ast b)(x) = \tau_{a \ast b}(x) = x \ast (a \ast b) = (x \ast a) \ast b = \tau_{b}(\tau_{a}(x))∀x∈G,φ(a∗b)(x)=τa∗b​(x)=x∗(a∗b)=(x∗a)∗b=τb​(τa​(x))

φ(a∗b)=τa∘τb=φ(a)∘φ(b)\varphi(a \ast b) = \tau_{a} \circ \tau_{b} = \varphi(a) \circ \varphi(b)φ(a∗b)=τa​∘τb​=φ(a)∘φ(b)

环 (ring)

环由一个集合 R RR 及其上的两个二元运算 +++ (加法) 和 ⋅\cdot⋅ (乘法) 组成，且满足以下条件:

(R,+)(R, +)(R,+) 构成阿贝尔群 (交换群)

(R,⋅)(R, \cdot)(R,⋅) 构成半群

乘法对于加法满足分配律即 ∀a,b,c∈R\forall a,b,c \in R∀a,b,c∈R

a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)

(a+b)⋅c=(a⋅c)+(b⋅c)(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)(a+b)⋅c=(a⋅c)+(b⋅c)