且听风吟

表紙は wikibooks - Group_Theory からのものです。

最近の半年間、いくつかの方向で群論に関連する知識に触れてきました。この 2 週間で少し理解を深めました（抽象代数の概念は本当に多くて複雑です 🥲）。自分ができるだけ理解できる方法で、いくつかの概念をまとめて、今後の学習のためのチートシートとしておきます。

興味がある方は、こちらの動画を直接見ることをお勧めします: 史上最好的群论入门 たった 30 分で、内容が簡潔で、テキストよりも理解しやすいです。また、東南大学李逸 教授が編纂した基本分析の講義教材（研究成果ページの教科書からダウンロード可能）も参考にしました。集合論に関連する内容も多く参考にしています。

集合と写像の基礎#

デカルト積 (cartesian product)#

$A$ と $B$ を 2 つの与えられた集合とし、その Cartesian 積を次のように定義します:

$A \times B = \left \{ (a, b) | a \in A \space\And\space b \in B \right \}$

例えば、$A = \left \{ a, b \right \}, B = \left \{ i,j,k \right \}$ とすると、$A \times B = \{(a,i),(b,i),(a,j),(b,j),(a,k),(b,k)\}$ となります。

ここで、$(a, b)$ は $a$ と $b$ の 有序対 (ordered pair) として定義され、$(a, b) = \left \{ \left \{ a \right \}, \left \{ a, b \right \} \right \}$ という表現方法において、最初の要素 $\left \{ a \right \}$ は有序対の最初の要素が $a$ であることを示し、2 番目の要素 $\left \{ a,b \right \}$ は要素間の順序を示します。参考に Kuratowski's definition と ZFC 集合公理化を見てください。ここで、$a$ は有序対の第一座標、$b$ は有序対の第二座標と呼ばれ、$a = b$ の場合、$(a, b) = \left \{ \left \{ a \right \} \right \}$ となります。$x = (a, b)$ に対して、射影写像を次のように定義します: $pr_{1}(x) = a,\space pr_{2}(x) = b$

写像 (map)#

$C$ と $D$ を 2 つの与えられた集合とし、割り当て法則 $R$ は次の条件を満たす $C \times D$ の部分集合を指します。

$(c,d) \in R \space\And\space (c,d{}') \in R \Longrightarrow d=d{}'$

割り当て法則 $R$ の 定義域 (domain) と 像域 (image set) を次のように定義します:

$Dom(R) := \{ c \in C | \exists\space d \in D \text{ s.t. } (c,d) \in R\}$

$Im(R) := \{ d \in D | \exists\space c \in C \text{ s.t. } (c,d) \in R\}$

写像 $f$ は二元対 $(R, B)$ であり、ここで $R$ は割り当て法則、$B$ は集合（$f$ の値域 (range) と呼ばれる）で、$Im(R) \subseteq B$ を満たします。定義は次の通りです:

• $f$ の定義域 $Dom(f) := Dom(R)$
• $f$ の像域 $Im(f) := Im(R)$
• 記号を導入します: $f: A \longrightarrow B, a \longmapsto f(a)$ ここで $A$ と $B$ はそれぞれ $f$ の定義域と値域です。したがって、$Im(f) \subseteq B$ であり、$f(a)$ は $B$ の中で $(a, f(a)) \in R$ を満たす唯一の要素です。
• グラフ $graph(f) := \{(a,b) \in A \times B|b = f(a) \} = \{(a, f(a))|a \in A\} \subseteq A \times B$ を定義します。

様々な写像の種類#

$1_{A} = A \longrightarrow A, a \longmapsto a$ を恒等写像 (identity mapping) と呼びます。

$f: A \longrightarrow B, a \longmapsto b$ で、ここで $b$ は定数であるものを定数写像 (constant mapping) と呼びます。

任意の与えられた $A$ の部分集合 $A_{0}$ に対して、$f$ の $A_{0}$ 上の制限 (restriction) を写像 $f|_{A_{0}} = f: A_{0} \longrightarrow B$ と定義します。

$f$ と $g$ の 合成 (composition) を $f \circ g = A \longrightarrow C, a \longmapsto c$ と定義しますが、$Im(f) \subseteq Dom(g)$ の場合にのみ $f \circ g$ は意味を持ちます。

$f(a) = f(a{}') \Longrightarrow a = a{}'$ であれば、$f$ は単射 (injective) です。

$\forall \space b \in B, \exists \space a \in A \text{ s.t. } f(a) = b$ であれば、$f$ は満射 (surjective) です。

$f$ が単射かつ満射であれば、$f$ は双射 (bijective) と呼ばれます。

$f$ が双射である場合、その 逆写像 (inverse) を $f_{}^{-1}: B \longrightarrow A$ と定義し、$f_{}^{-1}(b) = a \Longleftrightarrow f(a) = b$ となります。

写像 $f: A \longrightarrow B$ が存在し、$g: B \longrightarrow A$ が存在して、$g \circ f = 1|_{A}$ すなわち $f(f(a)) = a$ が任意の $a \in A$ に対して成り立つ場合、$f$ は必ず単射です。

写像 $f: A \longrightarrow B$ が存在し、$f$ の左逆 (left inverse) $g: B \longrightarrow A$ （すなわち $g(f(a)) = a$ がすべての $a \in A$ に対して成り立つ）と $f$ の右逆 (right inverse) $h: B \longrightarrow A$ （すなわち $f(h(b)) = b$ がすべての $b \in B$ に対して成り立つ）が存在する場合、$g = h = f_{}^{-1}$ となります。

任意の群 $G$ の 2 つの平凡な部分群 $\left \{ e \right \}$ と $G$ は $G$ の正規部分群でもあります。これらは平凡な正規部分群とも呼ばれます。

群 $G$ の任意の要素 $g$ に対して、部分群 $G{'}$ の中に $g{'}$ という要素が存在し、元の群 $G$ の要素 $x \in G$ が存在して、$g = g{'} \circ x$ となります。

例えば、群 $G = (\{1,2,3,4,5,6\}, a \circ b = a*b\mod{6})$ とその部分群 $G = (\{1,3\}, \circ)$ の場合、元の群の各要素は次のように表現できます: $1 = 1 \circ 1, 2 = 1 \circ 2, 3 = 3 \circ 1, 4 = 3 \circ 2, 5 = 1 \circ 5, 6 = 3 \circ 5$

整数加法群の正規部分群は $\{2n, n \in \mathbb{Z} \}$ です。

正規部分群は、群の中で特別な性質を持つ部分群として直感的に理解できます。群の演算と部分群の演算は等価です。直感的には、正規部分群は単位群を形成し、正規部分群を通じて全体の群を構成できます。

商群 (factor group)#

群 $(G, \circ)$ が正規部分群 $(N, \circ)$ を持つとき、$a, b \in G$ に対して、陪集演算 $(a \circ N) \diamond (b \circ N) = \left \{ a \circ b \circ n|n \in N \right \}$ を定義します。

この演算の下で、$N$ の陪集が構成する群を商群と呼び、記号 $G / N = (\left \{ aN| a \in G \right \} , \diamond)$ で表します。

例えば、すべての正整数と加法演算からなる群 $(\mathbb{Z}, +)$ は無限の部分群 $2\mathbb{Z},3\mathbb{Z},...$ を持ちます。$5\mathbb{Z}$ を観察すると、$\mathbb{Z}$ を 1 つの部分群（陪集とも見なせる）と 4 つの陪集に分割します:

• 部分群: $5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-5,0,5,10,... \right \}$
• 陪集: $1 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-4,1,6,11,... \right \}$
• 陪集: $2 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-3,2,7,12,... \right \}$
• 陪集: $3 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-2,3,8,13,... \right \}$
• 陪集: $4 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-1,4,9,14,... \right \}$

この 5 つの陪集は新しい群（陪集群）を形成し、商群として記録されます $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ です。

注意事項：

• 商群 $G/N$ は $G$ の部分群ではありません。
• 陪集が必ずしも群を形成するわけではありません。
• 陪集群（商群） $G/N$ の恒等元 (identity) は $N$ です。

商群は群の中のいくつかの要素 $a \in G, b \in G_{0}$ を同じ要素（この要素自体は集合です）$\{a, b\} \in G_{n}$ に統合することを指します。

商群の要素は元の群の要素の同値類であり、同値関係は群の演算結果が等しいことを指します。

直感的には、商群は正規部分群 $N$ を単位元と見なして構成される群です。

群同態 (group homomorphism)#

2 つの群 $(G, \ast)$ と $(H, \odot)$ が与えられたとき、すべての $G$ の $u,v$ に対して $h(u \ast v) = h(u) \odot h(v)$ を満たす関数 $h$ が存在する場合、$(G, \ast)$ から $(H, \odot)$ への群の同態と呼びます。

同態核 (kernel of homomorphism)#

$G_{1},G_{2}$ が群で、$f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ が同態写像であるとき、集合 $ker f = \{x| x \in G_{1}\space\And\space f(x) = e_{2}\}$ を定義します。ここで $e_{2}$ は群 $G_{2}$ の単位元であり、$ker f$ は $G_{1}$ の正規部分群です。

• 非空: $G_{1}$ の単位元は必ず $ker f$ に含まれます。
• 部分群: $\forall a, b \in ker f, f(a) = f(b) = e_{2}$ であれば、$f(a \ast b_{}^{-1}) = f(a) \ast f(b)_{}^{-1} = e_{2}$ となります。
• 正規部分群: $\forall a \in ker f, x \in G$ に対して、$f(a) = e_{2}$ であるため、$f(x \ast a \ast x_{}^{-1}) = f(x) \ast f(a) \ast f(x)_{}^{-1} = e_{2}$ となります。したがって、$g \ast a \ast g_{}^{-1} \in ker f$ です。

同態基本定理#

群 $G, G_{}^{'}$ があり、$f: G \rightarrow G_{}^{'}$ が全射同態写像であるとき、$G/ker f \cong G_{}^{'}$ となります。

群同型 (group isomorphism)#

2 つの群 $(G, \ast)$ と $(H, \odot)$ が与えられたとき、すべての $G$ の $u, v$ に対して $f(u \ast v) = f(u) \odot f(v)$ を満たす双射関数 $f: G \rightarrow H$ が存在する場合、群 $(G, \ast)$ と $(H, \odot)$ は同型と呼ばれます。

例えば、実数加法群 $(\mathbb{R}, +)$ は $f(x) = e_{}^{x}$ によって正の実数乗法群 $(\mathbb{R}_{}^{+}, \ast)$ と同型です。

半群 (Semigroup)#

集合 $S$ とその上の二元演算 $\cdot : S \times S \rightarrow S$ があり、演算 $\cdot$ が結合律を満たす場合、すなわち $\forall x,y,z \in S$ に対して $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$ が成り立つとき、有序対 $(S, \cdot)$ は半群と呼ばれます。

例えば、正整数と加法は半群を構成します。

幺半群 (Monoid)#

集合 $M$ とその上の二元演算 $\ast: M \times M \rightarrow M$ があり、次の条件を満たす場合:

• 結合律: $\forall a,b,c \in M, (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$
• 単位元: $\exists e \in M, \forall a \in M, e \ast a = a \ast e$
• 閉包性: $\forall a,b \in M, a \ast b \in M$

このとき、$(M, \ast)$ は幺半群と呼ばれます。群に対して、幺半群は逆要素の要求がありません。半群に対しては、幺半群は単位元を持ちます。

変換群 (transformation group)#

非空集合 $A$ に対して、$f: A \rightarrow A$ を $A$ 上の変換と呼びます。変換の乗法は関数の合成演算 $h(x) = g(f(x))$ です。

写像 $f$ が双射（単射 + 満射）であるとき、この変換を一一変換と呼び、以下のように理解しやすくするために、集合 $A$ 上の一一変換が交換乗法に関して構成する群を変換群と呼びます。

非空集合上のすべての双射変換は群を構成します#

• 閉包性：双射の合成は依然として双射です。
• 結合律: $(f \circ g) \circ h = f(g(x)) \circ h = f(g(h(x))) = f \circ g(h(x)) = f \circ (g \circ h)$
• 単位元：単位元 $e: f(x) = x$ が存在し、任意の変換 $g$ に対して $f \circ g = g \circ f$ が成り立ちます。
• 逆要素：任意の双射 $g$ に対して、逆関数 $g_{}^{-1}$ が存在し、すなわち逆要素です。

変換群の例#

集合 $G = \{f_{a,b}\space|\space f_{a,b}(x) = ax + b\space (a, b \in \mathbb{R}, a \ne 0)\}$ とすると、$(G, \circ)$ は群を構成します（変換群）。

置換 (permutation)#

有限集合 $S$ 上の双射 $\sigma: S \rightarrow S$ を $S$ 上の $n$ 元置換と呼び、次のように記述します:

ここで、$\sigma(1), \sigma(2), .. \sigma(n)$ は $1,2,..,n$ の異なる排列であり、各置換は排列の一種です。

$i_{1}i_{2}..i_{n}$ が $1,2,..,n$ の一つの排列であり、任意の $i,j$ に対して $i_{j} > i_{k}$ かつ $j < k$ であれば、$i_{j}i_{k}$ を逆序と呼びます。排列中の逆序の総数はその排列の逆序数と呼ばれます。

轮换#

$\sigma$ が $S = \{1,2,..,n\}$ 上の $n$ 元置換であり、次の条件を満たす場合:

$\sigma(i_{1}) = i_{2},\sigma(i_{2}) = i_{3},..,\sigma(i_{k-1}) = i_{k},\sigma(i_{k}) = i_{1}$

かつ:

$\forall x \in S, x \ne i_{j} (j = 1,2,..,k), \sigma(x) = x$
（このステップの意味は $i_{j}$ と $i_{k+j}$ が同等であることです）

このとき、$\sigma$ を $S$ 上の $k$ 階輪换と呼びます。$k = 2$ の場合は対换とも呼ばれ、記号 $(i_{1},i_{2},..,i_{k})$ で表します。

不相交轮换相乘#

$S_{n}$ の 2 つの輪换 $\sigma = (i_{1},i_{2},..,i_{k})$ と $\tau = (j_{1},j_{2},..,j_{s})$ があり、$\{i_{1},i_{2},..,i_{k}\} \cap \{j_{1},j_{2},..,j_{s}\} = \phi$ であれば、$\sigma$ と $\tau$ は不相交と呼ばれます。$\sigma$ と $\tau$ が不相交であれば、$\sigma\tau = \tau\sigma$ となります。

推論:

• 任意の $n$ 元置換 $\sigma$ は互いに相交しない輪换の積として表現できます。
• $k(k > 1)$ 階輪换 $\sigma = (i_{1} i_{2} .. i_{k})$ は $k-1$ 個の対换の積として表現できます。すなわち、$(i_{1}i_{2})..(i_{1}i_{k-1})(i_{1}i_{k})$ の形式です。
• $\sigma$ が $S$ 上の置換 $\sigma(j) = a_{j} (j = 1,2,...n)$ である場合、$\sigma$ の任意の対换表示における対换の個数は排列 $a_{1},a_{2},..,a_{n}$ の逆序数と同じ奇偶性を持ちます。

置換群#

有限集合 $S$ 上のすべての置換は群を構成し、対称群と呼ばれ、記号 $S_{n}$ で表されます。ここで $n$ は $S$ の階数です。

$S_{n}$ の任意の部分集合が群を構成する場合、それは置換群です。置換群は変換群の特例であり、対称群は置換群の特例です。

$S_{n}$ のすべての偶置換は部分群を構成し、交錯群と呼ばれます。

既存の群に基づいて変換群を構築する#

群 $(G, \ast)$ の任意の要素 $a \in G$ に対して、次のように定義します:

$\tau_{a}: G \rightarrow G, \forall x \in G, \tau_{a}(x) = x \ast a$

この場合、$\tau_{a}$ は一一（双射）変換です。

• 満射：任意の $b \in G$ に対して方程式 $x \ast a = b$ は唯一の解を持ちます。
• 単射: $x \ast a = y \ast a \Rightarrow x = y$ であり、両辺に $a_{}^{-1}$ を掛けることで成り立ちます。

$G_{}^{'} = \{\tau_{a}|a \in G\}$ とすると、明らかに $G_{}^{'}$ は変換群を構成できます。

Cayley 定理#

任意の群 $G$ は変換群と同型です。$\varphi: G \rightarrow G_{}^{'}, \forall a \in G, \varphi(a) = \tau_{a}$ と定義すると、$\varphi$ は同型写像です。

$\varphi(a \ast b) = \tau_{a \ast b}$

$\forall x \in G, \varphi(a \ast b)(x) = \tau_{a \ast b}(x) = x \ast (a \ast b) = (x \ast a) \ast b = \tau_{b}(\tau_{a}(x))$

$\varphi(a \ast b) = \tau_{a} \circ \tau_{b} = \varphi(a) \circ \varphi(b)$

環 (ring)#

環は集合 $R$ とその上の 2 つの二元演算 $+$ (加法) と $\cdot$ (乗法) から構成され、次の条件を満たします:

• $(R, +)$ は阿ベール群（交換群）を構成します。
• $(R, \cdot)$ は半群を構成します。
• 乗法は加法に対して分配律を満たします。すなわち、$\forall a,b,c \in R$
  • $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$
  • $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$